Aljabar Linier

Aljabar linier A. Pengertian Aljabar Linier Aljabar merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika. Sedangkan cabang dari ilmu aljabar itu sendiri antara lain aljabar linier dan aljabar abstrak. Aljabar abstrak memiliki banyak materi yang dibahas dan dikembangkan. Struktur aljabar merupakan salah satu materi dalam aljabar abstrak. Selain pemetaan, materi yang dibahas pada struktur aljabar pada dasarnya tentang himpunan dan operasinya. Sehingga dalam mempelajari materi ini selalu identik dengan sebuah himpunan yang tidak kosong yang mempunyai elemen­elemen yang dapat dikombinasika dengan penjumlahan, perkalian, ataupun keduanya dan juga boleh operasi biner yang lainnya. Hal tersebut berarti pembahasan-pembahasannya melibatkan objek-objek abstrak yang dinyatakan dalam simbol-simbol. B. Pengertian Matriks Matriks merupakan salah satu ekspresi metematis yang sangat banyak dipakai dalam aplikasi. Secara umum, matriks merupakan sekumpulan informasi yang diletakkan sehingga membentuk baris-baris dan kolom-kolom. Matriks A pada medan K, atau singkatnya matriks A (jika K adalah implisit) susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalalm bentuk berikut : a11 a12 ... a1n A = a21 a22 a2n ... .... ... ... am1 am2 ... amn Baris-baris dari matriks A seperti ini adalah m deretan horizontal yang berisi skalar-skalar : (a11, a12, ..., a1n), (a21, a22, ..., a2n), ....., (am1, am2, amn) Sebuah matriks dengan m baris dan n kolom disebut matriks m x n. Sebuah matriks yang hanya mempunyai satu baris disebut matriks baris dan matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut matriks kolom. Sebuah matriks yang seluruh entrinya adalah nol disebut matriks nol dan biasanya dinotasikan dengan 0. Contoh : (a) Susunan persegi panjang A = 1 -4 5 adalah matriks 2 x 3. Barisnya 0 3 -2 adalah (1,-4,5) dan (0,3,-2), sedangkan kolomnya adalah 1 -4 5 0 3 -2 (b) matriks nol 2 x 4 adalah matriks 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 C. Matriks Perjumlahan Misalkan A=(aij) dan B=(bij) adalah dua matrik dengan ukuran yang sama, katakanlah matriks m x n. Jumlah dari A dan B, ditulis A+b, adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian dari A dan B. Contoh : Misalkan 1 -2 3 4 6 8 A = 0 4 5 B = 1 -3 -7 Maka 1+4 -2+6 3+8 5 4 11 A+B = 0+1 4+(-3) 5+(-7) = 1 1 -2 Rumus penjumlahan matriks dan perkalian skalar : 1. (A+B) + C = A + (B+C) 2. A + 0 = A 3. A + (-A) = 0 4. A + B = B + A 5. K1 (A + B) = K1A +K1B 6. (K1 + K2)A = K1A + K2A 7. (K1 K2)A = K1 (K2 A) 8. 1. A = A, 0 .A = 0 D. Matriks Perkalian Misalkan 2 buah matriks A = (aij) dan B = (bij) sedemikian rupa sehingga jumlah kolom A = jumlah baris B, atau Am ‘p dan Bp’n, maka matriks AB adalah sebuah matriks hasil perkalian A dan B di mana elemen-elemennya dihasilkan dengan mengalihkan baris-baris A kepada kolom-kolom B : A1.B1 A1.B2 .... A1.Bn AB = A2.B1 A2.B2 .... A2.Bn ....... ......... .... ........ Am.B1 Am.B2 .... Am.Bn Contoh : Misalkan 1 2 1 1 = 1.1+2.0 1.1+2.2 = 1 5 3 4 0 2 3.1+4.0 3.1+4.2 3 11 1 1 1 2 = 1.1+2.0 1.1+2.2 = 4 6 0 2 3 4 0.1+2.3 0.2+2.4 6 8 Contoh 2 : 3 (7,-4,5) 2 = 7(3) + (-4)(2) + 5(-1) = 21-8-5 = 8 -1 Misalkan A, B dan C adalah matriks. Maka, hasil kali dan jumlah dari matriks-matriks tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut : 1. (AB)C = A(BC) (hukum asosiatif) 2. A(B + C) = AB + AC (hukum distributif kiri) 3. (B + C)A = BA + CA (hukum distributif kanan) 4. K(AB) = (kA) B = A (kB), dimana k adalah skalar